【式と証明】「実数の２乗は０以上」の使い方

【質問の確認】

式の証明で「実数の２乗は０以上」がうまく使えません。
a，bは実数として，a²−ab＋b²≧0の証明で，(実数)²≧0だから，a²≧0，b²≧0ですよね？
−abはどうなるのですか？
というご質問ですね。

【解説】

≪実数の2乗の使い方≫
不等式の証明方法の手順として，(実数)²≧0を用いることがあります。ある式Aに対し，
A＝(実数)²
A＝(実数)²＋……＋(実数)²
と式変形できれば，A≧0を証明することができます。

さて，a，bを実数とすると，(実数)²≧0だから，もちろんa²≧0，b²≧0ですが，
式全体で，(実数)²や(実数)²＋（正の数）や(実数)²＋(実数)²などの形をつくる
のが一般的です。

それでは，実際に，a²−ab＋b²について考えてみましょう。
まず，(実数)²をつくるために，次のような変形を考えてみます。

a²-ab+b²=(a²-2ab+b²)+ab
  =(a-b)²+ab

＋abになりましたから，(a−b)²＋ab ≧0としたい気もしますが，ちょっと待ってください！
a，b，は実数ですが，０なのか正の数か負の数かはわかりません。したがって，ab≧0 とは限らないので，a²−ab＋b²≧0の証明にはならないのです。
a²−ab＋b²は式全体を(実数)²の形に変形できないので，この不等式の証明では，ほかの形をつくることが目標になります。

≪（実数)²の形のつくり方≫
（実数)²の形をつくる，と聞いて思い出すことはありませんか？
２次関数のときに用いた式変形である平方完成で，（　　)²の形にしましたね。実は，この式変形の手順は，2次関数だけでなく，そのほかの場面でも使うことがあります。まず平方完成を思い出しましょう。

この手順より，a²−ab＋b²を平方完成してみましょう。
ただし，a²−ab＋b²は文字がa，bの２つありますから，１つの文字に着目して考えます。今回は，全体をaの２次式と見て平方完成しましょう。

これで平方完成ができました！

最後の★の式から，a，bは実数より， ， ，つまり，(実数)²＋(実数)²の形ができました。

これより， と言えるのです。

なお，この場合，等号成立条件は かつ ，すなわち， かつ b＝0なので a = b = 0 となります。
最後に，以上のことをまとめておきます。

【アドバイス】

2次式が0以上であることを証明するときの式変形は，因数分解の公式を使ってうまくいくこともありますが，基本になるのは平方完成です。いろいろな式で練習し，平方完成を利用して，（実数)²の形がつくれるようにしておきましょう。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。