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【式と証明】相加平均と相乗平均の等号成立条件

相加平均と相乗平均の等号成立条件

どうして等号成立条件がa-b=0なんでしょうか？
問題ではa+bしか出てこないですよね？

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
いただいた質問について、早速、回答します。

【質問の確認】

【問題】
a+b≧2√ab　（a>0、b>0）を証明してみよう。

で　問題ではa+b しか出てこないのに、

【解答解説】の証明
a>0、b>0のとき、a+b≧2√ab
を証明するには、根号を含む不等式だから、2乗して差をとり、

(a+b)^2-(2√ab)^2=(a^2+2ab+b^2 )-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2≧0 (a+b)^2-(2√ab)^2=(a^2+2ab+b^2 )-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2≧0

よって、(a+b)2≧(2√ab)2

a>0、b>0のとき、a+b>0、2√ab >0だから、

a+b≧2√ab

等号が成り立つのは、a-b=0、すなわち、a=bのとき。･･･（＊）

の（＊）で等号成立条件が「a-b=0」となることについてですね。

【解説】

相加平均・相乗平均の大小関係を証明するところでの、等号成立条件について・・・
どうして、a-b=0なのか？という質問ですね。

不等式の証明の基本は、「差をとって、符号を調べる」

ことは、よく理解できていますね。

これを踏まえて、相加平均・相乗平均の大小関係を証明するとき、根号を含むことから、２乗して差をとり、

(a+b)^2-(2√ab)^2=a^2+2ab+b^2-4ab=(a-b)^2≧0と導きましたね。 (a+b)^2-(2√ab)^2=a^2+2ab+b^2-4ab=(a-b)^2≧0と導きましたね。

（左辺）−（右辺）≧０を導いた時の式が、ポイントです。
この式で、等号成立条件を考えます。

等号が成り立つのは・・・？ （ ）の中身が０のときですね。
つまり、a-b=0のときとなります。

不等式を証明する時には、等号がつくのか、つかないのか、意識することは大切です。
この点に注意しているのが良いですね。

【アドバイス】

今後不等式を証明する時に、『相加平均・相乗平均の大小関係』を用いると、楽に証明できる場合が出てくるでしょう。そのときにも、「等号が成立する時があるのか、ないのか」常に意識して、利用していきましょう。

今後も、分からないところは早めに解決しながら、数学に取り組んでいってくださいね。

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※進研ゼミ『高校講座』について。矢野経済研究所「2014年版 教育産業白書」をもとに事業者を選定し、自社による第三者機関でのインターネット調査で高校生3,000人を対象に行った2015年4月時点で利用している学習法についての調査結果より。

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「進研ゼミ　ハイブリッドスタイル」はお手持ちのiPadでご利用いただけます。

対応機種
iPad（第4世代）、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
  • OS : iOS8.3以上。
  • 容量 : 8GB程度を想定。
  • 2016年2月時点。
  • 以下の端末ではお使いいただけません。
    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
    （チャレンジパッド、チャレンジタブレット、チャレンジタブレットネクスト）
通信環境

常時接続可能なブロードバンド（光ファイバなど）環境と、無線LAN（Wi-Fi）環境をご用意ください（10Mbps以上を推奨）。
  • 上記に合致しない環境では、サービスをご利用いただけない場合があります。
  • インターネットサービスプロバイダとの契約、無線LANルータが必要となります。接続料金等はお客さまのご負担となります。
  • セルラーモデルのiPadをご利用の方も、無線LAN(Wi-Fi)環境が必要です。ただし、テザリング機能での通信は推奨いたしません。
  • Apple、Apple ロゴ、iPadは米国および他の国々で登録された Apple Inc. の商標です。
  • iPadの機種、価格、内容等は変わることがあります。
  • ＜ハイブリッドスタイル＞で使用するiPadは、「進研ゼミ」以外のアプリにも接続できるタブレットです。インターネット接続・アプリ利用等の制限については、保護者の管理・判断のもとご利用ください。

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  • どちらかお一人がお手続きするだけでＯＫです。

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その際、「お友だち・ごきょうだいの紹介であること」と「ご紹介者の会員番号」を忘れずにお伝えください。どちらかお一人がお手続きをすれば、お二人分のプレゼントをお届けします。

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●退会連絡をいただかない場合、引き続き2月号以降をお届けします。

2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
今後お届けするご案内・教材については、最新の入試情報を踏まえてお届けできるように努めてまいりますので、ご理解のほど何卒よろしくお願い申し上げます。
なお、ベネッセコーポレーションでは、新大学入試の最新情報をわかりやすく解説する「教育セミナー」（参加費無料）を全国で開催しております。これから新入試に向けて頑張る高校生のみなさま・保護者の方に、ぜひ、ご活用いただけますと幸いです。
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