【図形の性質】図形の証明の考え方

図形の証明の考え方

どうやって導いていくのかがわかりません・・・
中学生の頃から図形の証明がとても苦手です。
証明の仕方を覚えてしまった方がいいのでしょうか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
早速いただいた質問について,お答えしましょう。

【質問の確認】

中学生の頃から図形の証明がとても苦手でどうやって導いていくのかがわかりません・・・
証明の仕方を覚えてしまった方がいいのでしょうか?

というご質問ですね。

【解説】

≪図形の証明のコツ≫
証明の仕方を覚えるとしても,それを応用できなければ,実際に問題を解くことに結びつきません。
なので,

・似た問題を見つけて,証明の解答の書き方をまねする

 →よく出てくる証明のパターンをつかむ

・問題の大まかな解法を覚える

 →似たような問題にあたったとき,どのような解き方をしたのか思い出せるようにする

といったことは有用なのですが,丸々証明そのものを覚えても基本的に役立ちません。

証明を苦手としている人は,うまく考え進められていないことが多いと思います。例えば,

・スタート(問題文で与えられている条件)→ゴール(証明すること)と進むことばかり考えている

・どこに目をつけたらよいか思いつかない

といったことにあてはまっていませんか。

証明問題に限らず,数学の問題を解くときには,
『最終的な結論に一気に進むことを考えるのではなく,何がわかれば結論にたどり着けそうなのかを考え,小目標を決めて,まずはその小目標を達成することを考える。』
ということが大切です。

そして,このときの小目標は,
『最終的な結論から逆にたどっていって,小目標を決める』
とよいことが結構多くあります。

≪具体的な問題で考えると・・・≫
では,ここからは具体的な問題で考えてみましょう。

問題
△ABCの内心をIとし,∠A=a , ∠BIC=b であるとき,
a/2 が成り立つことを示せ。

図形問題なので,まずは,問題文を図に示します。△ABCと内心I ,ab を図にすると,
(内心が出てきたら,内接円もかきましょう。)

問題文を図に示します 問題文を図に示します

このようになります。

次に,『内心』からわかることを図にしてみましょう。ここでは「角」について証明するので, 『内心,内接円についても角の性質』 を考えると,

内心は,三角形の3つの内角の二等分線の交点 内心は,三角形の3つの内角の二等分線の交点

を使います。
「内心」「角」というキーワードから,この性質をすぐに思い出せるようにしておくことが大切です。
このことを図にすると,

図 図

このようになります。ここまでが問題文に与えられた条件です。
 
次に,ここで証明したいことは「b= 90°+ a/2」が成り立つことになるので,これより
『最終的な結論から逆にたどっていって,小目標を決める』
ことを考えます。

いきなりabの関係式を考えるのではなく,まずは「a」や「b」について,それぞれ別々に角について考えてみましょう。それには,

図 図

このように「a」「b」をかき込んで,関係する角の条件を探しましょう。つまり,
abと,の関係式 (は図の中に示した角)
 を考えます。これが今回の証明の『小目標』になります。

すると,
aについて>
a = 2 ・・・(ア)
  
bについて>
△IBCは,3つの角がわかっている(文字や記号がかかれている)
三角形の内角の和は180°なので,
b = 180° ・・・(イ)
が成り立ちます。

ここで,証明したい式が「b = 90°+ a/2」つまり,「ab の関係式」なので,さらに,
『(ア)と(イ)を結びつける関係(の関係)がわかれば,
ab の関係式」がわかりそう』
です。

そこで,の関係も考えましょう。
△ABCの3つの内角はそれぞれ 2,2,2なので,三角形の内角の和は180°より,
2 + 2 + 2 = 180°つまり, = 90°・・・(ウ)
が成り立ちます。

ここまででわかったことは, 
a = 2               ・・・(ア)
b = 180° ・・・(イ)
+ + = 90°  ・・・(ウ)
です。
これをもとにab の関係 (b = (aの式)) を導きましょう。

(イ)より,
b = 180°− (  )
 なので,(ウ)より, = 90° − を使えば,
b = 180°− ( 90°− )
= 90°+     ・・・(エ)
となります。

また,(ア)より,a/2なので,(エ)に代入すれば,
b = 90°+ a/2
 となって証明したい式になりました。

これで証明の完成です。あとは,といった記号を使わず,∠BAIなどを使って表して解答に仕上 げます。

また,ここで使った
・内心は,三角形の3つの内角の二等分線の交点
・三角形の内角の和は180°
などの基本事項もすぐに思い出せるようにしておくことが大切です。

【アドバイス】

今回説明したように,まずは下調べをして,それをまとめて解答に仕上げましょう。最初から教材などに掲載されているような解答を書く必要はありません。
こういった考え方で考えをまとめる練習を積んで,だんだんと証明問題に慣れていくとよいでしょう。

これからも『進研ゼミ高校講座』を使って,数学の力を伸ばしていってくださいね。

【その他にも苦手なところはありませんか?】

わからないところをウヤムヤにせず、その場で徹底的につぶすことが苦手を作らないコツ。
「進研ゼミ」には、苦手をつくらない工夫があります。

  • 丁寧な解答解説 途中式は省略なし!詳しい内容だからわかる!※デジタルサービスをご利用いただくための機器は付属しません。
  • 万が一わからなかった場合も個別指導でニガテ解決できる!

  • 高1生の方 高1講座
  • 高2生の方 高2講座
  • 高3生の方 大学受験講座
  • おためし教材を取り寄せる(無料)
  • 入会のお申し込みはこちら

2018年度入試 合格速報

進研ゼミで大学合格!
今年も喜びの声ぞくぞく!

読み込みに失敗しました。
進研ゼミ高校講座について詳しく見る

進研ゼミ『高校講座』関連商品・サービス

一番上に戻る

進研ゼミ 高校講座
会員向けページにようこそ

会員のかた
進研ゼミ 高校講座 ご受講のかた
保護者のかた
進研ゼミ 保護者通信

高校講座 オプションお申し込み(有料)

各種お手続き

受験プラン・コース変更、教科・科目の追加 登録内容(住所・電話番号・支払い方法など)の変更

受講に関するご質問ご相談など、お気軽にお問い合わせください。

お電話でのお問い合わせ

0120-507-779

受付時間:9:00~21:00(年末年始除く)

通話料無料*音声ガイダンスでご案内いたします

ご提供いただく個人情報は、お申し込みいただいた商品・サービス提供の他、学習・語学、子育て・暮らし支援、趣味等の商品・サービスおよびその決済方法等に関するご案内、調査、統計・マーケティング資料作成および、研究・企画開発に利用します。
お客様の意思によりご提供いただけない部分がある場合、手続き・サービス等に支障が生じることがあります。また、商品発送等で個人情報の取り扱いを業務委託しますが、厳重に委託先を管理・指導します。個人情報に関するお問い合わせは、個人情報お問い合わせ窓口(0120-924721通話料無料、年末年始を除く、9時~21時)にて承ります。

(株)ベネッセコーポレーション CPO(個人情報保護最高責任者)

受講に関するご質問ご相談など、お気軽にお問い合わせください。

お電話でのお問い合わせ

0120-507-779

受付時間:9:00~21:00(年末年始除く)

通話料無料*音声ガイダンスでご案内いたします

ご提供いただく個人情報は、お申し込みいただいた商品・サービス提供の他、学習・語学、子育て・暮らし支援、趣味等の商品・サービスおよびその決済方法等に関するご案内、調査、統計・マーケティング資料作成および、研究・企画開発に利用します。
お客様の意思によりご提供いただけない部分がある場合、手続き・サービス等に支障が生じることがあります。また、商品発送等で個人情報の取り扱いを業務委託しますが、厳重に委託先を管理・指導します。個人情報に関するお問い合わせは、個人情報お問い合わせ窓口(0120-924721通話料無料、年末年始を除く、9時~21時)にて承ります。

(株)ベネッセコーポレーション CPO(個人情報保護最高責任者)

※進研ゼミ『高校講座』について。矢野経済研究所「2014年版 教育産業白書」をもとに事業者を選定し、自社による第三者機関でのインターネット調査で高校生3,000人を対象に行った2015年4月時点で利用している学習法についての調査結果より。

学年をお選びください。

高校1年生 高校2年生 高校3年生

学年をお選びください。

高校1年生 高校2年生 高校3年生

学習方法を診断する学年をお選びください。

高校1年生 高校2年生 高校3年生
進研ゼミ ハイブリッドスタイル 利用環境条件

「進研ゼミ ハイブリッドスタイル」はお手持ちのiPadでご利用いただけます。

対応機種
iPad(第4世代)、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
通信環境

常時接続可能なブロードバンド(光ファイバなど)環境と、無線LAN(Wi-Fi)環境をご用意ください(10Mbps以上を推奨)。
ご利用環境の通信速度については、下記より事前にご確認ください。

あとから紹介制度のやり方

入会後に、ご紹介者の情報を登録することもできます。入会フォームの「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」にチェックを入れてください。

Webでお申し込みをする場合

「入会申し込みページ」の「支払方法等の選択」内にある「ご紹介者」の欄で、 「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」を選び、そのまま次の画面に進んでください。

  • Web画面のデザインはイメージです。変更する場合があります。

お申し込みの際にご登録いただいたメールアドレスに、手続き完了のメールをお送りしますので、プレゼント申し込み手続きを行う代表者を決め、お手続きをお願いします。

  • どちらかお一人がお手続きするだけでOKです。

電話でお申し込みをする場合

ご入会のお申し込みをいただく際、オペレーターが「ご紹介者はいらっしゃいますか」とおうかがいします。
⇒おそれいりますが「後から申し込みます」とお答えください。

入会完了

あなたと、あなたのお友だち・ごきょうだいに「教材」をお送りしますので、
プレゼント申し込み手続きを行う代表者を決め、0120-332211(9:00~21:00年末年始除く 通話料無料)までお電話ください。 ※一部のIP電話からは042-679-8567(ただし通話料がかかります)
その際、「お友だち・ごきょうだいの紹介であること」と「ご紹介者の会員番号」を忘れずにお伝えください。どちらかお一人がお手続きをすれば、お二人分のプレゼントをお届けします。

  • どちらかお一人がお手続きするだけでOKです。

「入会申し込みページ」の「支払い方法等の選択」内にある
「ご紹介者」の欄に、紹介してくれる方の情報をご入力ください。

紹介制度フォームサンプル

【お申し込み前に必ずお読みください】

●1月号(12/27まで)にご入会した方がキャンペーン対象です。
●受講費は1ヵ月分かかります。2月号以降を継続されない場合は、支払い期間にかかわらず「毎月払い」1ヵ月分の受講費のお支払いとなります。
●1ヵ月で退会する場合は1/10までに電話連絡が必要になります。ご連絡はお電話に限ります。
●退会連絡をいただかない場合、引き続き2月号以降をお届けします。