【積分法】面積の計算について

面積の計算について

f(x)dxf(x)のaからbまでの定積分)で面積を求めようとしたら,マイナスがついてしまいました。面積なのに負になることがあるのですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

∫_a^bf(x)dxで面積を求めようとしたら,マイナスがついてしまいました。面積なのに負になることがあるのですか? というご質問ですね。

【解説】

図のような曲線 y = f (x) と x 軸,および 2直線 x = ax = b で囲まれた図形の面積 S は定積分を利用して,
S=∫a^b f(x)dxS=∫a^b f(x)dx
で求められます。ここはわかっているようですね。

このS=∫a^b f(x)dx を計算すると,負になってしまったのですね。
面積ですから負になるのはおかしいです。計算間違いをしていることも考えられますが,公式を利用するときに間違えている可能性が高いです。具体例を参考にしてみてください。

【例題】
放物線 y=x2-3xx 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ。

まず,面積を求める図形を確認します。

図の色のついた部分が面積を求める図形ですね。
そこで,定積分より面積Sを計算すると,

S=∫0^3(x^2-3x)dx=[1/3 x^3-3/2 x^2 ]_0^3=1/3・3^3-3/2 ・3^2=9-27/2=-9/2S=∫0^3(x^2-3x)dx=[1/3 x^3-3/2 x^2 ]_0^3=1/3・3^3-3/2 ・3^2=9-27/2=-9/2

のように値が負になってしまいました。この原因は,積分区間において,f (x)≦0であるのに,そのまま積分してしまったことです。

【誤りは】区間 0 ≦ x ≦ 3 において,x2 - 3x ≦ 0 であるのに,そのまま積分してしまったこと

【正しくは】区間 axb において,常に f(x) ≦ 0 のときは,

S=-∫_a^b f(x)dxS=-∫_a^b f(x)dx

となることを利用する。

ところで,区間 axbで常に のとき,曲線 y = f (x) ,および 2直線 x = ax = b で囲まれた図形の面積 S は,

S=∫_a^b{f(x)-g(x)}dxS=∫_a^b{f(x)-g(x)}dx

で求められることは大丈夫でしょうか?

上の【例題】でx軸を直線 y = 0 ととらえれば,2曲線 y = 0y = x^2-3x で囲まれた図形の面積を求めると考えることができます。
つまり,区間 0 ≦ x ≦ 3 で常に 0 ≧ x^2-3x となるから,

S=∫_0^3{0-(x^2-3x)}dx=-∫_0^3(x^2-3x)dx=-[1/3 x^3-3/2 x^2 ]_0^3=9/2 S=∫_0^3{0-(x^2-3x)}dx=-∫_0^3(x^2-3x)dx=-[1/3 x^3-3/2 x^2 ]_0^3=9/2

と求められます。


【補足】
図のような曲線 y = f(x) と x 軸,および2直線 x = ax = b で囲まれた図形の面積を求める場合は, x 軸との上下関係を考えて,S1 と S2 の部分に分け,場合分けをして計算する必要がありますね。


◎まとめ
面積は正でなければならない ので,負になってしまった場合は,
★ 2曲線の上下関係
★ 積分計算
に注意して,確認してみましょう。

【アドバイス】

積分を利用して面積を求めるときは,どの曲線とどの曲線に囲まれているか,そして,曲線の上下関係を押さえることがポイントです。特に,x軸と曲線で囲まれる図形の面積は上下関係を忘れやすいので,x軸を直線y=0と考えるとよいでしょう。ポイントを押さえて計算ミスをしないようにしましょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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