【微分法】導関数と微分

導関数と微分

「微分するとは,導関数を求めること」と習いましたが,f(x)=x^nf′(x)=nx^n-1 とすることではないのですか?
導関数f′(x)=lim(h→0) f(x+h)-f(x)/hの式との関係はなんですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

「微分するとは,導関数を求めること」と習いましたが,f(x)=x<sup>n</sup>を f<sup>'</sup> (x)=nx^(n-1) とすることではないのですか?導関数 f<sup>'</sup>( x)=(lim)┬h→0   (f(x+h)-f(x))/h の式との関係はなんですか?
というご質問ですね。

【解説】

では「平均変化率」「微分係数」「導関数」「微分する」の関係について説明しましょう。

≪平均変化率とは≫
xa から b まで変化するときの関数 y = f(x) の平均変化率は (yの増加量)/(xの増加量),つまり,(f(b)-f(a))/(b-a) で求められます。

図形的には,平均変化率は2点A( af(a) ),B( bf(b)) を通る直線の傾き を表しています。

≪微分係数とは≫
この平均変化率において,b を限りなく a に近づけた
f'(a)=lim(b→a)⁡(f(b)-f(a))/(b-a) f'(a)=lim(b→a)⁡(f(b)-f(a))/(b-a)
が微分係数です。

図形的には,2点A( af(a)),B(bf(b)) を通る直線は,点Bを点Aに限りなく近づけるとき,点A( af(a)) における接線に近づくので,結果的に,微分係数は関数 y = f(x) のグラフ上の点A( af(a)) における接線の傾きを表しています。
ここで,「b を限りなくaに近づける」とは,「b-a=h とおくと,h→0 」であるから,
微分係数 f'(a)=lim(b→a)  (f(b)-f(a))/(b-a) の式は,
f'(a)=lim(h→0)  (f(a+h)-f(a))/h f'(a)=lim(h→0)  (f(a+h)-f(a))/h
と書くことができます。

≪導関数とは≫
この微分係数f<sup>'</sup>( x)=(lim)┬h→0   (f(x+h)-f(x))/hは,x=aをどこにとるかによって値が決まるaの関数と言えますね。この関数が導関数です。変数をxに書き換え,

導関数 導関数

つまり, 導関数とは微分係数が求められる関数です。

≪微分するとは≫
そして,この 「導関数を求めること」を「微分する」 と言います。
f(x)=xnのときは,導関数の定義より,f'(x)=nxn-1 が導かれるので,これを f(x)=xn の導関数の公式として用います。

公式を使っても,定義からでも,微分することができますが,いちいち定義から求めなくてすむように公式を導いたのですから,「定義に従って求めよ。」と指示がない限り,公式を用いるとよいでしょう。

f(x)=xnを微分する f(x)=xnを微分する

【アドバイス】

用語の意味をしっかり押さえておくことも大切ですね。
また,微分するときに,問題によって「定義に従って」とある場合もあるので,定義からでも公式からでも求められるようにしておきましょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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