進研ゼミ高校講座
> Ｑ&Ａトップ
> 数学のＱ&Ａ一覧
> 【微分法】極大，極小を与えられたときの条件

【微分法】極大，極小を与えられたときの条件

極大，極小を与えられたときの条件

「x＝3で極小値をとるから，f ′（3）＝0 」と書かれていますが，このf ′（3）＝0は傾きが0だということを表しているのでしょうか。あまりイメージができません。回答よろしくお願いします。

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
いただいた質問について，さっそく回答いたします。

【質問の確認】

【問題】

関数f (x)＝x³＋ax²＋bx＋2は，x＝3で極小値2をとる。このとき，a，bの値を求め，極大値を求めよ。

の解答で，
｢x＝3で極小値をとるから，f ′ (3)＝0｣と書かれていますが，このf ′ (3)＝0は傾きが0ということを表しているのでしょうか？　イメージができません。
というご質問ですね。

【解説】

≪　極大・極小について　≫
一般に，f (x)の増加と減少が変わるところで，f (x)は「極大・極小」になるといい，関数f (x)の増減は微分係数f ′ (x)の符号で判断することができます。

グラフが単調に増加（接線の傾きが正）する区間の微分係数
･･･　f ′ (x)＞0
グラフが単調に減少（接線の傾きが負）する区間の微分係数
･･･　f ′ (x)＜0
グラフがx軸に平行（接線の傾きが0）である区間の微分係数
･･･　f ′ (x)＝0

つまり，極値となるのは　f ′ (x) の符号が変化する境界であり，このとき，「f ′ (x)＝0」であることが前提です。

［極大値］［極小値］

≪極大値や極小値を与えられたときの条件≫
今回の問題では，「x＝3 で極小値2をとる」という条件なので，
f (x) ＝x³＋ax²＋bx＋2より，　f ′ (x)＝3x²＋2ax＋b　
であり，x＝3で極値をとるためには，
f ′ (x) ＝3x²＋2ax＋b　において，x＝3を代入したときの値が0
つまり，
f ′ (3)＝0
という式が成り立たなくてはならないのです。
また，
「f ′ (3)＝0」は，y＝f (x) のグラフで，x＝3における接線の傾きが0である
ことを意味します。

そして，上の図のように，接線の傾きの変化に着目すると，
極値に近づくにつれて，傾きの絶対値は小さくなっていき，
極値では接線はx軸に平行，すなわち傾きは0になる
ことがわかります。
これで極値と接線の関係はイメージできましたか？

【アドバイス】

「f ′ (x)＜0　→f ′ (x)＝0 →f ′ (x)＞0 」あるいは「f ′ (x)＞0 →f ′ (x)＝0 →f ′ (x)＜0」のように
f ′ (x)の符号の変化とf (x)の増加，減少の様子を結びつけてイメージできるようにしておきましょう。
増減表を作成してグラフをかく手順もしっかりマスターすることが大切です。