【三角関数】三角関数の合成について

三角関数の合成について

sinθ+cosθrsin(θα)の形に変形するときに,θ+4分のπとなるところはどのように出せばよいのでしょうか?教えてください!!

進研ゼミからの回答!

いただいた質問にお答えします。

【質問の確認】

sinθ + cosθr sin(θα)の形に変形するときに,θ+π/4 はどのように出せばよいか。
というご質問ですね。

【解説】

これは45°,45°,90°の直角三角形の辺の比からわかります。

sinθ+cosθr sin(θα)と変形するときのα(−παπ)を求める手順は次の通りです。

<sinθ+cosθr sin(θα)と変形するときのα(−π<α≦π)を求める手順>

①sinθとcosθの係数に着目 → ここでは1と1

②P(1,1)を座標平面上にとる(下の図)

③OPとx軸の正の向きとのなす角を見つける → これがα

ここではOA=1とOB=1すなわちPA=1であり,∠OAP=90°なので△OPAは∠OAP=90°,∠AOP=45°,∠APO=45°の直角三角形です。

すなわち α= π / 4 です。
そこで,三角関数の合成の公式より,

sinθ+cosθ=√(1^2 + 1^2 ) sin(θ+π/4 )=√2 sin(θ+π/4)sinθ+cosθ=√(1^2 + 1^2 ) sin(θ+π/4 )=√2 sin(θ+π/4)

となります。

同じように,3sinθ−√3cosθ の場合を考えてみます。
sinθとcosθの係数からP( 3,-√3 )を座標平面上にとります(図)。

つまり,
OA=3,AP=√3,OP=√(3^2+(√3)^2)=2√3 であり,∠OAP=90°なので△OPAは1:2:√3 の直角三角形で,∠AOP=30°です。
また,図より,−π<α<0なので,OPとx軸の正の向きとのなす角αは負になりますね。つまり,α=−π/6 となります。そこで,

3sinθ−√3cosθ=√(3^2  + (√3)^2 ) sin(θ−π/6)=2√3 sin(θ−π/6)3sinθ−√3cosθ=√(3^2  + (√3)^2 ) sin(θ−π/6)=2√3 sin(θ−π/6)


ところで,三角関数の合成の公式 a sinθ+b cosθ=√(a^2+b^2)sin(θ+α) は加法定理:sin(αβ)=sinα cosβ+cosα sinβを使って導いたものです。
今回の sinθ+cosθ を加法定理を用いて直接合成してみましょう。
係数部分1,1に着目して √(1^2+1^2)=√2 だから,√2 をくくり出して,

sinθ+cosθ =√2×1 /√2(sinθ+cosθ)=√2(1/√2 sinθ+1/√2 cosθ)=√2(sinθ×1/√2+cosθ×1/√2) ・・・・・・(☆)sinθ+cosθ =√2×1 /√2(sinθ+cosθ)=√2(1/√2 sinθ+1/√2 cosθ)=√2(sinθ×1/√2+cosθ×1/√2) ・・・・・・(☆)

ここで,( )の中を sinθ cosα+cosθ sinαと見て,
cosα=1/√2 ,sinα=1/√2 になるαを見つけるとα=π/4
よって,

(☆)=√2(sinθ cos π/4 +cosθ sin π/4)=√2 sin(θ+π/4)(☆)=√2(sinθ cos π/4 +cosθ sin π/4)=√2 sin(θ+π/4)

となります。これは公式を忘れたときや三角関数の合成の問題を穴うめにしたときに使えますので,あわせて理解しておきましょう。

【アドバイス】

30°,60°,90°の直角三角形と45°,45°,90°の直角三角形の辺の比は覚えておいてください。
また,三角関数の合成は方程式や不等式の問題にも使います。
回答でも触れましたが,この公式は加法定理から導いたものです。加法定理は基本になる重要な定理なのでしっかり理解し,覚えてください。

それでは,これで回答を終わります。これからも『進研ゼミ高校講座』で確実に力をつけていってくださいね。

【その他にも苦手なところはありませんか?】

わからないところをウヤムヤにせず、その場で徹底的につぶすことが苦手を作らないコツ。
「進研ゼミ」には、苦手をつくらない工夫があります。

  • 丁寧な解答解説 途中式は省略なし!詳しい内容だからわかる!※デジタルサービスをご利用いただくための機器は付属しません。
  • 万が一わからなかった場合も個別指導でニガテ解決できる!

  • 高1生の方 高1講座
  • 高2生の方 高2講座
  • 高3生の方 大学受験講座
  • おためし教材を取り寄せる(無料)
  • 入会のお申し込みはこちら

2018年度入試 合格速報

進研ゼミで大学合格!
今年も喜びの声ぞくぞく!

読み込みに失敗しました。
進研ゼミ高校講座について詳しく見る

進研ゼミ『高校講座』関連商品・サービス

一番上に戻る

進研ゼミ 高校講座
会員向けページにようこそ

会員のかた
進研ゼミ 高校講座 ご受講のかた
保護者のかた
進研ゼミ 保護者通信

高校講座 オプションお申し込み(有料)

各種お手続き

受験プラン・コース変更、教科・科目の追加 登録内容(住所・電話番号・支払い方法など)の変更

受講に関するご質問ご相談など、お気軽にお問い合わせください。

お電話でのお問い合わせ

0120-507-779

受付時間:9:00~21:00(年末年始除く)

通話料無料*音声ガイダンスでご案内いたします

ご提供いただく個人情報は、お申し込みいただいた商品・サービス提供の他、学習・語学、子育て・暮らし支援、趣味等の商品・サービスおよびその決済方法等に関するご案内、調査、統計・マーケティング資料作成および、研究・企画開発に利用します。
お客様の意思によりご提供いただけない部分がある場合、手続き・サービス等に支障が生じることがあります。また、商品発送等で個人情報の取り扱いを業務委託しますが、厳重に委託先を管理・指導します。個人情報に関するお問い合わせは、個人情報お問い合わせ窓口(0120-924721通話料無料、年末年始を除く、9時~21時)にて承ります。

(株)ベネッセコーポレーション CPO(個人情報保護最高責任者)

受講に関するご質問ご相談など、お気軽にお問い合わせください。

お電話でのお問い合わせ

0120-507-779

受付時間:9:00~21:00(年末年始除く)

通話料無料*音声ガイダンスでご案内いたします

ご提供いただく個人情報は、お申し込みいただいた商品・サービス提供の他、学習・語学、子育て・暮らし支援、趣味等の商品・サービスおよびその決済方法等に関するご案内、調査、統計・マーケティング資料作成および、研究・企画開発に利用します。
お客様の意思によりご提供いただけない部分がある場合、手続き・サービス等に支障が生じることがあります。また、商品発送等で個人情報の取り扱いを業務委託しますが、厳重に委託先を管理・指導します。個人情報に関するお問い合わせは、個人情報お問い合わせ窓口(0120-924721通話料無料、年末年始を除く、9時~21時)にて承ります。

(株)ベネッセコーポレーション CPO(個人情報保護最高責任者)

※進研ゼミ『高校講座』について。矢野経済研究所「2014年版 教育産業白書」をもとに事業者を選定し、自社による第三者機関でのインターネット調査で高校生3,000人を対象に行った2015年4月時点で利用している学習法についての調査結果より。

学年をお選びください。

高校1年生 高校2年生 高校3年生

学年をお選びください。

高校1年生 高校2年生 高校3年生

学習方法を診断する学年をお選びください。

高校1年生 高校2年生 高校3年生
進研ゼミ ハイブリッドスタイル 利用環境条件

「進研ゼミ ハイブリッドスタイル」はお手持ちのiPadでご利用いただけます。

対応機種
iPad(第4世代)、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
通信環境

常時接続可能なブロードバンド(光ファイバなど)環境と、無線LAN(Wi-Fi)環境をご用意ください(10Mbps以上を推奨)。
ご利用環境の通信速度については、下記より事前にご確認ください。

あとから紹介制度のやり方

入会後に、ご紹介者の情報を登録することもできます。入会フォームの「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」にチェックを入れてください。

Webでお申し込みをする場合

「入会申し込みページ」の「支払方法等の選択」内にある「ご紹介者」の欄で、 「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」を選び、そのまま次の画面に進んでください。

  • Web画面のデザインはイメージです。変更する場合があります。

お申し込みの際にご登録いただいたメールアドレスに、手続き完了のメールをお送りしますので、プレゼント申し込み手続きを行う代表者を決め、お手続きをお願いします。

  • どちらかお一人がお手続きするだけでOKです。

電話でお申し込みをする場合

ご入会のお申し込みをいただく際、オペレーターが「ご紹介者はいらっしゃいますか」とおうかがいします。
⇒おそれいりますが「後から申し込みます」とお答えください。

入会完了

あなたと、あなたのお友だち・ごきょうだいに「教材」をお送りしますので、
プレゼント申し込み手続きを行う代表者を決め、0120-332211(9:00~21:00年末年始除く 通話料無料)までお電話ください。 ※一部のIP電話からは042-679-8567(ただし通話料がかかります)
その際、「お友だち・ごきょうだいの紹介であること」と「ご紹介者の会員番号」を忘れずにお伝えください。どちらかお一人がお手続きをすれば、お二人分のプレゼントをお届けします。

  • どちらかお一人がお手続きするだけでOKです。

「入会申し込みページ」の「支払い方法等の選択」内にある
「ご紹介者」の欄に、紹介してくれる方の情報をご入力ください。

紹介制度フォームサンプル

【お申し込み前に必ずお読みください】

●1月号(12/27まで)にご入会した方がキャンペーン対象です。
●受講費は1ヵ月分かかります。2月号以降を継続されない場合は、支払い期間にかかわらず「毎月払い」1ヵ月分の受講費のお支払いとなります。
●1ヵ月で退会する場合は1/10までに電話連絡が必要になります。ご連絡はお電話に限ります。
●退会連絡をいただかない場合、引き続き2月号以降をお届けします。