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【図形と方程式】判別式の意味

判別式の意味

③の判別式をDとするとありますが、D≧０とは　③の式と円との共有点の個数をあらわしているのですか？

なぜここで判別式が出てくるのかわかりません・

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
質問をいただきましたので、早速お答えしましょう。

【質問の確認】

【問題】

x2+y2≦4のとき、y-2xの最大値、最小値を求めよ。また、そのときのx、yの値を求めよ。

での判別式DやD≧0の意味について、ですね。

【解説】

円と直線の式を連立させて求めた方程式は、何を表すのでしょうか？
求めた方程式の実数解は、円と直線の共有点の座標を表します。

①と②の連立方程式の実数解が共有点の座標 ①と②の連立方程式の実数解が共有点の座標

x2+y2≦4というのは円の周および内部（領域M）になります。
y-2x=k　･･･②とおいて、kの最大値と最小値を求めます。
円x2+y2=4　･･･①として、この２つの方程式からyを消去すると、5x2+4kx+k2-4=0　･･･③という方程式になります。
この実数解が共有点のx座標になりますが、判別式D≧0を考えることによって
直線②が円①に接するか異なる２点で交わるときを押さえているのです。この問題では「直線②が領域Mと共有点をもつ」という条件で考えるので、これを押さえる必要があるのですね。

D≧0すなわち、-2√5≦k≦2√5　のとき　直線y-2x=kは上の（ア）から（イ）の範囲を動きます。求めるのはkの最大値と最小値なので、k=2√5 のとき最大値で、k=-2√5 のとき最小値となるのです。
k=2√5　のときは接するときで、直線②は（ア）であるときです。
k=2√5　のときも接するときで、直線②は（イ）であるときになります。

【アドバイス】

円と直線の方程式を連立させて求めた方程式の実数解は、何を表すのかをしっかり押さ
えておきましょう。

それでは、これからも『ゼミ教材』で力を伸ばしていきましょう。

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