【図形と方程式】接線の公式の使い方について

接線の公式の使い方について

円と直線の位置関係からでなく、接点の座標を設定して答えを求めるやりかたがわからない

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について、早速、回答します。

【質問の確認】

【問題】

点P(0,-1) を通り、円x2-6x+y2+4=0 に接する直線の方程式と、接点の座標を求めよ。

について、

【解答解説】

円と直線の位置関係からでなく、接点の座標を設定して答えを求める

解き方について、のご質問ですね。

【解説】

x2 -6x + y2 + 4 = 0
(x-3)2 + y2 = 5
なので中心(3,0)、半径 √5√5 の円です。

接線の公式を使うためには中心が原点でなければいけません。そこで円の中心が(0,0)になるように、平行移動した状態で接線を求め、それを逆に平行移動して元に戻すという手順で考えます。

x軸方向に‐3平行移動すると円はx2 + y2 = 5 になります。また問題では「(0,‐1)を通る」という条件でしたが、この(0,‐1)も同様にx軸方向に‐3平行移動すると、(‐3,‐1)になります。
そこで(‐3,‐1)を通り、x2 + y2 = 5 に接する接線を考えます。

【円の接線の方程式】

x2 + y2 = r2上の点(x1y1)における接線の方程式は
x1 x + y1 y = r2

接点の座標をP(x1y1 ) とおくと、接線の方程式は

x1 x + y1 y = 5 ・・・①

これが(‐3,‐1)を通るので

-3x1 - y1 = 5 ・・・②

また点Pは円x2 + y2 = 5上の点なので

x12 + y12 = 5 ・・・③

②よりy1 = -3x1 - 5 ・・・④

④を③に代入すると

x12 + (-3x1 - 5)2 = 5

展開して整理すると

10x12 + 30x1 + 20 = 0

x12 + 3x1 + 2 = 0
(x1+2) (x1 + 1) = 0

よってx1 = -1,-2
x1 = -1のときy1 = -2
x1 = -2のときy1 = 1

これらを①に代入すると接線の方程式は

接点が(‐1,‐2)のとき-x-2y=5 すなわちy=-1/2 x-5/2 接点が(‐2,1)のとき-2x+y=5 すなわちy=2x+5 接点が(‐1,‐2)のとき-x-2y=5 すなわちy=-1/2 x-5/2 接点が(‐2,1)のとき-2x+y=5 すなわちy=2x+5

ただしこれは平行移動した後の接線なので、元に戻さなければいけません。
接点と接線をともにx軸方向に3平行移動します。

y=f(x)のグラフをx軸方向にpだけ平行移動したグラフを表す式はy=f(x-p)

なので接点が(‐1,‐2)のとき y = -1/2 x - 5/2y = -1/2 x - 5/2x軸方向に3平行移動すると

接点が(2,‐2)のとき y=-1/2 (x-3)-5/2 すなわち y=-1/2 x-1 接点が(2,‐2)のとき y=-1/2 (x-3)-5/2 すなわち y=-1/2 x-1

接点が(‐2,1)のとき y = 2x + 5 をx軸方向に3平行移動すると

接点が(1,1)のとき y=2(x-3)+5 すなわちy=2x-1 接点が(1,1)のとき y=2(x-3)+5 すなわちy=2x-1

となります。

【アドバイス】

中心が原点ではない円で接点の座標を設定して求めるのは、添付の回答のように平行移
動が必要でかなり面倒になります。円と直線の位置関係を使う方が解きやすいと思います
ので、そちらの解き方を覚えておくとよいでしょう。

それではこれからも進研ゼミ 高校講座で実力アップを目指してくださいね。

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