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【力学的エネルギー保存の法則】振り子運動についての、力学的エネルギー保存の法則がわかりません。

振り子運動についての、力学的エネルギー保存の法則がわかりません。

保存力以外の力が仕事をしていないので，最高点の高さはもとの位置に戻ると思うのですが，なぜ違うのでしょうか。教えてください。

進研ゼミからの回答！

【質問の確認】

【問題】
図のように，長さlの軽くて伸び縮みしない糸に質量mのおもりをつけ，糸の他端を点Oに固定する。糸がたるまないようにおもりを点Oと同じ高さの点Aまで持ち上げて静かにはなすと，おもりは半径lの円に沿って運動をはじめる。おもりが最下点Bを通過した後，糸が鉛直方向となす角がとなる点Cで糸を切ると，おもりは円軌道の接線方向に飛びだして放物運動をした。重力加速度の大きさをgとする。

問１　点Aから点Cまでの糸の張力がおもりにした仕事はいくらか。

問２　点Bでのおもりの速さv_B を求めよ。

問３　点Cでのおもりの速さv_C をg，l，θを用いて表せ。

問４　点Bの位置を基準にした放物運動の最高点の高さhをl，θを用いて表せ。

【解答解説】から抜粋部分

問４　おもりは点Cから円軌道の接線方向に飛びだすので，そのときの速度の水平成分はである。
おもりが放物運動をしている間，速度の水平成分は変化せず，放物運動の最高点での速度は水平右向きにである。点Aと最高点で力学的エネルギー保存の法則を適用すると

【解答解説】から抜粋部分

≪振り子運動についての，力学的エネルギー保存の法則がわかりません。≫

保存力以外の力が仕事をしていないので，最高点の高さはもとの位置に戻ると思うのですが，なぜ違うのでしょうか。教えてください。

【解説】

結論から言いますと，保存力以外の力が仕事をしていないので，『力学的エネルギー』は保存されますが，放物運動の最高点での運動エネルギーは0ではないので，最高点での位置エネルギーが減少するのです。よって，もとの位置までは戻りません。
質問で与えられた放物運動の最高点において，おもりは水平方向の速度をもっているため，運動エネルギーが存在します。
したがって，力学的エネルギー保存の法則を考えると，
『力学的エネルギー：（運動エネルギー）＋（位置エネルギー）＝（一定）』より，
点Bを重力による位置エネルギーの基準として，

位置エネルギーの基準

となりますので，力学的エネルギー保存の法則の式は解答解説のように，
0＋mgl＝m（v_C cosθ）²＋mghとなります。
m（v_C cosθ）²＞0　ですから，
h < lが直感的にわかるでしょう。

実際この式に，問３のv_C の値を代入すると，h＝l（1−cos³θ）
が求まります。より，ですから，であることが計算からも求められます。
つまり，最高点の高さはもとの位置に戻らないのですね。(図1)
(★)について：点Cで糸を切った後，おもりは円軌道の接線方向に飛びだし，放物運動をするのですが，
これは、点Cでの速度をv_C として，速度v_C，角度θによる斜方投射と考えられます。

よって，水平方向右向きをx軸の正の向き，鉛直方向上向きをy軸の正の向きととると，時間t後の速度が

・水平方向に：v_C cosθ（力ははたらかないので等速直線運動）

・鉛直方向には：v_C sinθ−gt（鉛直投げ上げ運動）

となる運動をすると考えられます。(図2)

(図2　斜方投射の水平方向、鉛直方向の運動)

したがって，放物運動の最高点では鉛直方向には速度をもちませんが，水平方向には
v_C cosθの速度をもつので運動エネルギーがあります。
以上で説明を終わります。

【アドバイス】

保存力以外の力がはたらかない場合，力学的エネルギーは保存されます。
単純な振り子運動なら，おもりはもとの位置に戻りますが，本問では点Cで糸を切るので，おもりは放物運動することに気を付けてください。
『力学的エネルギー：（運動エネルギー）＋（位置エネルギー）＝（一定）』
より，点Aでおもりがもっていた位置エネルギーは，放物運動の最高点での位置エネルギーと運動エネルギーに変換されます。
この回答を参考に，この問題の力学的エネルギー保存の法則の式の立て方を，もう一度しっかり考え直してみましょう。
これからも進研ゼミ高校講座にしっかりと取り組んでいってくださいね。