【複素数と方程式】整式の割り算の余りの求め方

整式の割り算の余りの求め方

x^100+1をx−1で割った余りを求めよ」とか,「P(x)を(x−2)(x−3)で割った余りを求めよ」という問題で,100次式の割り算は大変だったり,P(x)がわからなくて割り算ができなかったりするのですが,どうやって余りを求めるのですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

[問題 1]
x100+1をx-1で割った余りを求めよ。

[問題 2]
P(x)をx-2で割った余りが5,x-3で割った余りが7のとき,P(x)を(x-2)(x-3)で割った余りを求めよ。

上の問題のように,次数の高い式の割り算や,割られる式がわからなくて割り算ができない場合に,どうやって余りを求めるのですか?
というご質問ですね。

【解説】

余りに関する問題でカギになるのは,「割り算について成り立つ等式」です。まずは,そこからスタートしましょう。

≪1. 自然数の「割り算について成り立つ等式」≫
まず,自然数の割り算を思い出してみましょう。例えば,19÷7は,

19       ÷       7     =   2        ・・・519       ÷       7     =   2        ・・・5

となり,これは,

19       =       7        ×   2  +   519       =       7        ×   2  +   5

という等式に書き換えられましたね。これが自然数の「割り算について成り立つ等式」です。
注意したいのは,「余り」は「割る数」より小さくなるということです。もし,余りが割る数より大きければ,まだ割り算ができますね。だから,最後まできちんと割れば,必ず余りが割る数よりも小さくなります。

≪2. 整式の「割り算について成り立つ等式」≫
整式でも自然数の割り算と要領は同じです。
例えば,割られる式x3+2x2+5x+3,割る式x-1とし,実際に割り算をしてみると,

  (x³+2x²+5x+3)÷(x-1)=x²+3x+8  ・・・11  (x³+2x²+5x+3)÷(x-1)=x²+3x+8  ・・・11

という式が得られ,これを書き換えると,

  x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup>+5x+3=(x-1)×(x<sup>2</sup>+3x+8 )+11  x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup>+5x+3=(x-1)×(x<sup>2</sup>+3x+8 )+11

という等式になります。これが,整式の「割り算について成り立つ等式」です。
ここで,余り11は定数であり,その次数は0だから,余りの次数は割る式の次数1より低くなります。そうでなければ,もっと割ることができるはずですね。

≪3.余りの次数について≫ 
上の説明のように,割り算では,余りの次数が割る式の次数より低くなることがポイントです。
割られる式P(x)の次数がどんなに大きくても,何次式かわからなくても,割る式が1次式なら余りは定数,割る式が2次式なら余りは 1次式か定数,・・・ということがわかるのです。
したがって,abcを実数とすると,

 P(x)を1次式で割った余りなら,定数a

 P(x)を2次式で割った余りなら,1次以下の式なのでax+b

 P(x)を3次式で割った余りなら,2次以下の式なのでax2+bx+c

のように書き表すことができます。
これが,P(x)がわからなくても余りが求められる秘訣です。

≪4. 剰余の定理≫ 
さて,「割り算について成り立つ等式」をもう少し詳しく見てみましょう。上の★の式より,

つまり,P(x)をx-1で割った余りはP(1),すなわち,割る式が0になる値を代入すれば余りが現れることがわかります。

ここでは,余りの様子を調べるために,P(x)=(x-1)(x2+3x+8 )+11と変形してから代入しましたが,これは単に式の変形をしただけですから,もとの形 P(x)=x3+2x2+5x+3 にx=1を代入しても同じ値が得られます。

これが剰余の定理です。

剰余の定理

整式P(x)を1次式x-αで割った余りはP(α)

≪5. 余りの求め方≫
それでは,最初の問題を解いて,具体的に余りの求め方を考えてみましょう。

[問題1]の解答
剰余の定理より,整式x100+1にx=1を代入して,
1100+1=1+1=2
よって,x100+1 をx-1で割った余りは, 2 ・・・・・・(答)

[問題2]の解答
この問題の場合,P(x)はわかりませんが,≪3.余りの次数について≫で考えた通り,
2次式(x-2)(x-3)で割った余りは1次以下の式ax+b(abは実数)と書くことができます。そこで,これを利用すると,解答は次のようになります。

P(x)を(x - 2)(x - 3)で割った商をQ(x),余りを ax + b とすると,

P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b ・・・・・・(*)P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b ・・・・・・(*)

x - 2 で割った余りが5だから,剰余の定理より,割る式 x - 2 が0になる値 x = 2 を(*)に代入して,

P(2)=(2-2)(2-3)Q(2)+2a+b=5  2a+b=5  ・・・・・・①P(2)=(2-2)(2-3)Q(2)+2a+b=5  2a+b=5  ・・・・・・①

同様に,x - 3 で割った余りが7だから,x = 3 を(*)に代入して,

P(3)=(3-2)(3-3)Q(3)+3a+b=7 3a+b=7  ・・・・・・②P(3)=(3-2)(3-3)Q(3)+3a+b=7 3a+b=7  ・・・・・・②

①と②を連立させて解くと,a = 2,b = 1
よって,P(x)を(x - 2)(x - 3)で割った余りは 2x + 1 ・・・・・・(答)


◎ まとめ
整式を割った余りを求める問題は次のことがポイントとなります。

■整式を1次式x-αで割った余りはx-αが0になる値x=αを代入して求める(剰余の定理)。

■整式を2次以上の式で割った余りは,(余りの次数)<(割る式の次数)となるように余りをおいて,割り算について成り立つ等式をつくって求める。

【アドバイス】

割り算について成り立つ等式は,整式の割り算の基本となるので,しっかり身につけておいてください。
また,整式の割り算の余りを求める問題では,剰余の定理をうまく利用することもポイントになるので,いろいろな問題で練習しておきましょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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