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【数列】部分分数を作る過程

部分分数を作る過程

どうやって部分分数を作っているのかよくわかりません。
あと、部分分数を作った後の計算は毎回残る数字は一番初めの分数と一番最後の分数ですか？

部分分数に分ける前の分数の分子が１でない場合も部分分数に分けた後には必ず分子が１になるのはなぜですか？

よろしくお願いします！

進研ゼミからの回答！

こんにちは。いただいた質問について、早速、お答えしていきます。

【質問の確認】

【問題】
次の和を求めよ。

問題 問題

の

【解答解説】

解答解説解答解説

で、
・部分分数の作り方、
・部分分数を作った後の計算で残る項、
・部分分数に分けた後の分子が必ず1になる理由
についてですね。

【解説】

例えば 1/(k(k+2)) を部分分数で表したい場合、このように考えます。

部分分数に分けた結果を 1/(k(k+2))=1/A (1/k-1/(k+2))・・・① と表せたとしましょう。
ここで右辺の(　　)の中を通分すると、

1/k-1/(k+2)=((k+2)-k)/(k(k+2))=(k+2-k)/(k(k+2))=2/(k(k+2))1/k-1/(k+2)=((k+2)-k)/(k(k+2))=(k+2-k)/(k(k+2))=2/(k(k+2))

となります。これを①に代入すると

1/(k(k+2))=1/A 2/(k(k+2))1/(k(k+2))=1/A 2/(k(k+2))

両辺に k(k+2) をかけると、

1=1/A×21=1/A×2

よって、A = 2という解が得られ、ふたたび①より

1/(k(k+2))=1/2 (1/k-1/(k+2))1/(k(k+2))=1/2 (1/k-1/(k+2))

となることが分かるのです。

1/(n(n+a))=1/a∙(1/n-1/(n+a))　　……(＊)1/(n(n+a))=1/a∙(1/n-1/(n+a))　　……(＊)

部分分数を用いてΣ計算を行うと、互いの項を消しあうことがメリットとなるのですが、毎回先頭の項と最後の項が残るとは限りません。部分分数の形によっては、最初の2項と最後の2項が残る場合もあり、その他の場合ももちろんあります。よって、ある程度具体的に数字を並べて計算してみることが大切ですね。部分分数を用いてΣ計算を行うと、互いの項を消しあうことがメリットとなるのですが、毎回先頭の項と最後の項が残るとは限りません。部分分数の形によっては、最初の2項と最後の2項が残る場合もあり、その他の場合ももちろんあります。よって、ある程度具体的に数字を並べて計算してみることが大切ですね。

部分分数に分解するときには、(＊)のような式変形をします。左辺、つまり、部分分数に分ける前の分数の分子が1でない場合は、

b/(n(n+a))=b/a (1/n-1/(n+a))b/(n(n+a))=b/a (1/n-1/(n+a))

と考えればよいのです。
したがって、部分分数に分けた後の分数の分子は、必ず1になるのですね。

【アドバイス】

まず部分分数を作れることを目標としましょう。
その上で、実際に和を求めて、疑問に思うことがでてきたら、あらためて質問をしてくださいね。

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※進研ゼミ『高校講座』について。矢野経済研究所「2014年版 教育産業白書」をもとに事業者を選定し、自社による第三者機関でのインターネット調査で高校生3,000人を対象に行った2015年4月時点で利用している学習法についての調査結果より。

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進研ゼミ ハイブリッドスタイル 利用環境条件

「進研ゼミ　ハイブリッドスタイル」はお手持ちのiPadでご利用いただけます。

対応機種
iPad（第4世代）、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
  • OS : iOS8.3以上。
  • 容量 : 8GB程度を想定。
  • 2016年2月時点。
  • 以下の端末ではお使いいただけません。
    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
    （チャレンジパッド、チャレンジタブレット、チャレンジタブレットネクスト）
通信環境

常時接続可能なブロードバンド（光ファイバなど）環境と、無線LAN（Wi-Fi）環境をご用意ください（10Mbps以上を推奨）。
  • 上記に合致しない環境では、サービスをご利用いただけない場合があります。
  • インターネットサービスプロバイダとの契約、無線LANルータが必要となります。接続料金等はお客さまのご負担となります。
  • セルラーモデルのiPadをご利用の方も、無線LAN(Wi-Fi)環境が必要です。ただし、テザリング機能での通信は推奨いたしません。
  • Apple、Apple ロゴ、iPadは米国および他の国々で登録された Apple Inc. の商標です。
  • iPadの機種、価格、内容等は変わることがあります。
  • ＜ハイブリッドスタイル＞で使用するiPadは、「進研ゼミ」以外のアプリにも接続できるタブレットです。インターネット接続・アプリ利用等の制限については、保護者の管理・判断のもとご利用ください。

あとから紹介制度のやり方

入会後に、ご紹介者の情報を登録することもできます。入会フォームの「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」にチェックを入れてください。

Webでお申し込みをする場合

「入会申し込みページ」の「支払方法等の選択」内にある「ご紹介者」の欄で、 「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」を選び、そのまま次の画面に進んでください。

  • Web画面のデザインはイメージです。変更する場合があります。

お申し込みの際にご登録いただいたメールアドレスに、手続き完了のメールをお送りしますので、プレゼント申し込み手続きを行う代表者を決め、お手続きをお願いします。

  • どちらかお一人がお手続きするだけでＯＫです。

電話でお申し込みをする場合

ご入会のお申し込みをいただく際、オペレーターが「ご紹介者はいらっしゃいますか」とおうかがいします。
⇒おそれいりますが「後から申し込みます」とお答えください。

入会完了

あなたと、あなたのお友だち・ごきょうだいに「教材」をお送りしますので、
プレゼント申し込み手続きを行う代表者を決め、0120-332211（9:00～21:00年末年始除く　通話料無料）までお電話ください。 ※一部のIP電話からは042-679-8567（ただし通話料がかかります）
その際、「お友だち・ごきょうだいの紹介であること」と「ご紹介者の会員番号」を忘れずにお伝えください。どちらかお一人がお手続きをすれば、お二人分のプレゼントをお届けします。

  • どちらかお一人がお手続きするだけでOKです。

「入会申し込みページ」の「支払い方法等の選択」内にある
「ご紹介者」の欄に、紹介してくれる方の情報をご入力ください。

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●1月号（12/27まで）にご入会した方がキャンペーン対象です。
●受講費は1ヵ月分かかります。2月号以降を継続されない場合は、支払い期間にかかわらず「毎月払い」1ヵ月分の受講費のお支払いとなります。
●1ヵ月で退会する場合は1/10までに電話連絡が必要になります。ご連絡はお電話に限ります。
●退会連絡をいただかない場合、引き続き2月号以降をお届けします。

2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
今後お届けするご案内・教材については、最新の入試情報を踏まえてお届けできるように努めてまいりますので、ご理解のほど何卒よろしくお願い申し上げます。
なお、ベネッセコーポレーションでは、新大学入試の最新情報をわかりやすく解説する「教育セミナー」（参加費無料）を全国で開催しております。これから新入試に向けて頑張る高校生のみなさま・保護者の方に、ぜひ、ご活用いただけますと幸いです。
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