【数列】a_(n+1)=pa_n+q (p≠1,q≠0)型の漸化式の解き方
a_(n+1)=pa_n+q (p≠1,q≠0)型の漸化式の解き方
講義の例題で数列{an}が漸化式a1=3,an+1=3an-4を満たしているとき、なぜαと置いてα=3α-4になるのですか？
anと、an+1がまるで等しいかのように…
本当にわかりません。
進研ゼミからの回答！
こんにちは。
いただいた質問について、早速、回答します。
【質問の確認】
【解答解説】
例えば、数列{an }が漸化式
a1=3, an+1 = 3an - 4 ･･････①
を満たしているとき、
α = 3α - 4 ･･････②
を満たす定数αを考えて、①の辺々から②の辺々を引くと、
an+1 - α = 3( an - α ) ･･････③
ここで、αの値は②よりα=2と求めることができるから、α=2を③に代入して、
an+1 - 2 = 3( an - 2 )
つまり、数列{ an - 2 }は初項a1 - 2 = 3 - 2 = 1、公比3の等比数列であり、
このことを利用して一般項anを求めることができる。
について、②の部分が成り立つ理由についてですね。
【解説】
≪理由について≫
では、何故、anやan+1をαに置き換えて、α=pα+qとして良いのかについて説明しましょう。
an+1 = pan + q 型漸化式の一般項を求めるには、
の形に変形することを最大の目標として求めていきます。
そうすれば･･･(※)を見ても分かるように、数列{ an - α }が等比数列になっているので、それを利用してanを求めることができるからなのです。
その手順は、まず、数列{ an - α }の一般項を「an - α = ○ 」と求めたら、そこから「an = ○ + α」と変形すれば求められますね！
そこで、(※)の式を整理してみましょう。すると・・・
an+1 - α = p( an - α )
an+1 = pan - p a + α
となりますが、この式は元の式に一致していなければなりません。つまり、-pα + α = qと言えるのです！！
そして、-pα + α = q は、α = pα + q でもあり、これはちょうど･･an+1 = pan + q のan+1 と an に α を代入した式になっているのです！！
このようなことから、an+1 = pan + q 型漸化式を解くには、an+1とan に α を代入しα = pα + q を満たす α を求めれば良いというわけなのです。
≪例題で練習≫
では、以上のことを踏まえ、a1 = 3, an+1 = 3an - 4 から一般項を求めてみましょう〜！
a1 = 3, an+1 = 3an-4から一般項を求めると次のようになります。
①αの値 を求めます！
→→→ α＝ 3α - 4 → α ＝ 2
②〔*〕の形に変形します！
→→→ 〔*〕にp = 3（pはan の係数）、α ＝ 2を代入して、an+1 - 2 = 3( an - 2 )
③数列{ an - 2 } の一般項を求めます！
→→→ 初項( a1 - 2 ) = 3 - 2 = 1、公比3の等比数列であることから、an - 2 = 1・3n-1 = 3n-1 ･･･③′
④数列{ an }の一般項を求めます！
→→→ ③′より、an = 3n-1 + 2
【アドバイス】
以上で説明を終わりますが、どうでしょう・・分かりましたか？
数列の漸化式から一般項を求める方法は、各漸化式によって決まっています。種類も多く、覚えるのも大変ですが、逆に覚えていないと解けないので、しっかり覚えておきましょう。
特に、an+1 = pan + q 型漸化式は頻出ですよ！
求める手順は前述の4つ（①〜④）！今回を機に、しっかり習得してくださいね！
では、これからも『進研ゼミ 高校講座』を大いに活用し、あなたの学習に役立てて下さいね。
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