【数列】a_(n+1)=pa_n+q (p≠1,q≠0)型の漸化式の解き方

a_(n+1)=pa_n+q (p≠1,q≠0)型の漸化式の解き方

講義の例題で数列{an}が漸化式a1=3,an+1=3an-4を満たしているとき、なぜαと置いてα=3α-4になるのですか?
anと、an+1がまるで等しいかのように…
本当にわかりません。

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について、早速、回答します。

【質問の確認】

【解答解説】

例えば、数列{an }が漸化式
a1=3, an+1 = 3an - 4 ・・・・・・①
を満たしているとき、
α = 3α - 4  ・・・・・・②
を満たす定数αを考えて、①の辺々から②の辺々を引くと、
an+1 - α = 3( an - α )  ・・・・・・③
ここで、αの値は②よりα=2と求めることができるから、α=2を③に代入して、
an+1 - 2 = 3( an - 2 )
つまり、数列{ an - 2 }は初項a1 - 2 = 3 - 2 = 1、公比3の等比数列であり、
このことを利用して一般項anを求めることができる。

について、②の部分が成り立つ理由についてですね。

【解説】

≪理由について≫
では、何故、anan+1をαに置き換えて、α=pα+qとして良いのかについて説明しましょう。

an+1 = pan + q 型漸化式の一般項を求めるには、a_(n+1)-α=p(an-α)(※) の形に変形することを最大の目標として求めていきます。
そうすれば・・・(※)を見ても分かるように、数列{ an - α }が等比数列になっているので、それを利用してanを求めることができるからなのです。
その手順は、まず、数列{ an - α }の一般項を「an - α = ○ 」と求めたら、そこから「an = ○ + α」と変形すれば求められますね!

そこで、(※)の式を整理してみましょう。すると・・・
an+1 - α = p( an - α )
an+1 = pan - p a + α
となりますが、この式は元の式に一致していなければなりません。つまり、-pα + α = qと言えるのです!!

そして、-pα + α = q は、α = pα + q でもあり、これはちょうど・・an+1 = pan + qan+1an に α を代入した式になっているのです!!

このようなことから、an+1 = pan + q 型漸化式を解くには、an+1an に α を代入しα = pα + q を満たす α を求めれば良いというわけなのです。

≪例題で練習≫

では、以上のことを踏まえ、a1 = 3, an+1 = 3an - 4 から一般項を求めてみましょう〜!
a1 = 3, an+1 = 3an-4から一般項を求めると次のようになります。

①αの値 を求めます!

→→→ α= 3α - 4 → α = 2

②〔*〕の形に変形します!

→→→ 〔*〕にp = 3(pan の係数)、α = 2を代入して、an+1 - 2 = 3( an - 2 )

③数列{ an - 2 } の一般項を求めます!

→→→ 初項( a1 - 2 ) = 3 - 2 = 1、公比3の等比数列であることから、an - 2 = 1・3n-1 = 3n-1 ・・・③′

④数列{ an }の一般項を求めます!

→→→ ③′より、an = 3n-1 + 2

【アドバイス】

以上で説明を終わりますが、どうでしょう・・分かりましたか?
数列の漸化式から一般項を求める方法は、各漸化式によって決まっています。種類も多く、覚えるのも大変ですが、逆に覚えていないと解けないので、しっかり覚えておきましょう。
特に、an+1 = pan + q 型漸化式は頻出ですよ!
求める手順は前述の4つ(①〜④)!今回を機に、しっかり習得してくださいね!

では、これからも『進研ゼミ 高校講座』を大いに活用し、あなたの学習に役立てて下さいね。

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