【整数の性質】不定方程式ax+by=c(c≠0)のすべての整数解の表し方

不定方程式ax+by=c(c≠0)のすべての整数解の表し方

方程式を満たす整数解が無数にあるときに,自分の答えと解答の答えとが違う場合があるのですが,どうやって自分の答えが正しいのかを確かめることができるのですか?
確かめる方法を教えてください。

進研ゼミからの回答!

質問をいただきましたので,さっそくお答えしましょう。

【質問の確認】

axbyc(c≠0)の整数解の表し方は何通りもありますが,自分の答えが正しいかどうかを確かめる方法がわからない。
というご質問ですね。

【解説】

axbycc≠0)の整数解の表し方は何通りもあります。
自分の答えが正しいかどうか判断するには,求めた解に具体的な値を代入して,xyの整数解が解答と同じになるかどうかを見ます。


例えば,3x−7y=1において,この整数解の1つとして,
x=−2,y=−1を使うと,その整数解は,
x=7k−2,y=3k−1(kは整数)……①
と表すことができますが,
x=5,y=2を使うと,
x=7k+5,y=3k+2(kは整数)……②
となり,①と②では表し方が異なります。

ここで,①のx=7k−2,y=3k−1のkに適当な数値をあてはめると,具体的に解は次のようになります。
k=−1のとき, x=−9,y=−4
k=0のとき,  x=−2,y=−1
k=1のとき,  x=5,y=2
k=2のとき,  x=12,y=5

同様に,②のx=7k+5,y=3k+2のとき,kに具体的な値を代入した解は次のようになります。
k=−2のとき,  x=−9,y=−4
k=−1のとき, x=−2,y=−1
k=0のとき,  x=5,y=2
k=1のとき,  x=12,y=5

それぞれの結果を見比べると,kの値は違ってもxyの解は同じになります。

①と②の表し方を比較すると…

①と②の表し方を比較すると ①と②の表し方を比較すると

kが整数であればk+1も整数となり,それぞれの表す解は全く同じであることも理解しておきましょう。

【アドバイス】

このように,解答の答えと自分で求めた答えのそれぞれに具体的な値をいくつか代入してみて,解答と同じ結果(ここでは,xyの解)が得られれば正解と判断できます。

それでは,これからも『進研ゼミ高校講座』を活用して得点を伸ばしていきましょう!

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