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【整数の性質】方程式を満たす1組の整数解を求める途中の式変形について

方程式を満たす1組の整数解を求める途中の式変形について

1＝17−（25−17・1）・2
＝17-25・2＋17・2
＝25・（−2）＋17・3
とありますが,なぜ
17−25・2＋17・2から25・（-2）＋17・3と変形できるのかわかりません。
解説お願いします！

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
では，いただいた質問にお答えしていきましょう。

【質問の確認】

【問題】
等式 25x＋17y＝1を満たす整数x，yの組を1つ求めよ。

【解答解説】から抜粋部分　25=17･1+8…①　17=8･2+1=②　②より,1=17-8･2…③　また,①より,　8=25-17･1…④　④を③に代入して,1=17-(25-17･1)･2=17-25･2+17･2=25･(-2)+17･3　すなわち,　25･(-2)+17･3=1…(※)　よって、25x+17y=1を満たす整数x，yの組の1つは，x=-2，y=3…（答）

について，解答の部分の変形のしかたがわからない。
というご質問ですね。

【解説】

 「互除法」を使って，
25＝17・1＋8
17＝8・2＋1
となることより，
1　＝17−25・2＋17・2　　…☆
となるところまでは変形できたのですね。
これより，☆の右辺を25・■＋17・● の形にしますが，
25を因数にもつ項，17を因数にもつ項をそれぞれ同類項としてまとめていく
のがポイントです。

1=17-25･2+17･2=-25･2+17+17･2　17をくくり出す。17は17･1と考える。=25･(-2)+17･(1+2)=25･(-2)+17･3

下線部分をもう少し詳しく説明しましょう。
17と17・2は同類項なので，次のようにまとめています。

17＋17・2 ＝ 17・1＋17・2 ＝ 17・（1＋2） ＝ 17・3

また，−25・2は，25の符号を“＋”にするために，

−25・2　＝（−25）×2 ＝ 25×（−2）＝ 25・（−2）

と変形しています。

【アドバイス】

1組の整数解を求めるときに，例えば，8x＋3y＝2 なら，
すぐに，x＝1，y＝−2 とわかります。
このように，簡単な数値を代入してみてすぐにわかるときはよいのですが，すぐにわからなければこの問題のように，互除法を利用します。

それでは，これで回答を終わります。これからも『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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  • 容量 : 8GB程度を想定。
  • 2016年2月時点。
  • 以下の端末ではお使いいただけません。
    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
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