【微分法(III)】複雑な関数のグラフのかき方

複雑な関数のグラフのかき方

最大値や最小値を求める問題でグラフを考えたのですが,ちゃんと微分をして増減表をかいてグラフを考えても,答えのグラフと違ってしまいます。どうやったら正しいグラフがかけるのですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

最大値や最小値を求める問題で,微分をして増減表をかいてグラフを考えても,答えのグラフと違ってしまいます。どうやったら正しいグラフがかけるのですか?
というご質問ですね。

【解説】

2次関数や3次関数のグラフはだいたいの形が決まっていますが, 複雑な関数のグラフは, 増減だけでは正確な形がわかりません。それでは, 増減のほかに何を調べたらよいか, 具体的な例を見てみましょう。

y'=(1・(x2+1)-x?2x)/(x2+1)2 =(-x2+1)/(x2+1)2 =(-(x+1)(x-1))/(x2+1)2 y'=0とすると,x=−1,1

これより, yの増減表は次のようになります。

この増減表から, 図1のようなグラフを想像するかもしれませんが, 実際は, 図2のようなグラフになります。

図1のようなグラフだと考えてしまう原因は, x→∞, x→−∞ の状態を調べていないことにあります。
そこで, x→∞, x→−∞ のときの極限を考えると,

となり, x→∞, x→−∞ のとき, yは0に限りなく近づく, すなわち, x軸が漸近線であることがわかるので, 図2のようなグラフになることがわかります。

≪【例2】y=(x^2+1)/x のグラフ≫ y'=(2x?x-(x2+1)?1)/x2 =(x2-1)/x2 =(x+1)(x-1)/x2 y'=0 とすると, x=−1,1

これより, yの増減表を次のようにすると…

この増減表からグラフを考えてみると, 増減の様子からはという形が想像できそうですが, よく見ると, −2から2に減少する?という状態になっていて, どうつなげたらよいかわかりません。
これは, 増減表を書く際に, まず関数の定義域を確認していないからなのです。すなわち, 「不連続な点がある」ということを考えていないためです。x=0のとき分母が0になるので, 定義されません。つまり, x=0のとき, グラフは切れている, すなわち, 不連続なのです。
この関数の定義域はx≠0であるから, まず増減表のxの段はこのことを踏まえて書かなければなりません。すると, 正しい増減表は次のようになります。

次に, x=0付近の状態を, 右側極限と左側極限を調べて確認しておきます。

また, 【例1】と同様にx →∞ , x →−∞ のときの極限も調べておくと,


◎まとめ
最大値や最小値を求めるとき, グラフを正しくかくためには, 増減の様子や極値を調べる以外に,

を行うとよいでしょう。
もっと正確なグラフをかくことを要求された場合は, これに加えて, 変曲点や漸近線, グラフの対称性などを調べることで, より正確なグラフをかくことができます。

【アドバイス】

グラフは, 最大値・最小値を求める問題や方程式の実数解に関する問題などいろいろな問題で利用します。また, 入試などでも「グラフをかけ。」という問題が出題されているので, 上のまとめにあるポイントを押さえて, どのようなグラフでもかけるように, 練習しておきましょう。

それでは, これで回答を終わります。
これからも, 『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

2018年度入試 合格速報

進研ゼミで大学合格!
今年も喜びの声ぞくぞく!

読み込みに失敗しました。
進研ゼミ高校講座について詳しく見る

進研ゼミ『高校講座』関連商品・サービス

一番上に戻る

進研ゼミ 高校講座
会員向けページにようこそ

会員のかた
進研ゼミ 高校講座 ご受講のかた
保護者のかた
進研ゼミ 保護者通信

高校講座 オプションお申し込み(有料)

各種お手続き

受験プラン・コース変更、教科・科目の追加 登録内容(住所・電話番号・支払い方法など)の変更

受講に関するご質問ご相談など、お気軽にお問い合わせください。

受講に関するご質問ご相談など、お気軽にお問い合わせください。

※進研ゼミ『高校講座』について。矢野経済研究所「2014年版 教育産業白書」をもとに事業者を選定し、自社による第三者機関でのインターネット調査で高校生3,000人を対象に行った2015年4月時点で利用している学習法についての調査結果より。

学年をお選びください。

高校1年生 高校2年生 高校3年生
進研ゼミ ハイブリッドスタイル 利用環境条件

「進研ゼミ ハイブリッドスタイル」はお手持ちのiPadでご利用いただけます。

対応機種
iPad(第4世代)、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
通信環境

常時接続可能なブロードバンド(光ファイバなど)環境と、無線LAN(Wi-Fi)環境をご用意ください(10Mbps以上を推奨)。

あとから紹介制度のやり方

入会後に、ご紹介者の情報を登録することもできます。入会フォームの「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」にチェックを入れてください。

Webでお申し込みをする場合

「入会申し込みページ」の「支払方法等の選択」内にある「ご紹介者」の欄で、 「入会後に、ご紹介者の情報を登録する」を選び、そのまま次の画面に進んでください。

  • Web画面のデザインはイメージです。変更する場合があります。

お申し込みの際にご登録いただいたメールアドレスに、手続き完了のメールをお送りしますので、プレゼント申し込み手続きを行う代表者を決め、お手続きをお願いします。

  • どちらかお一人がお手続きするだけでOKです。

電話でお申し込みをする場合

ご入会のお申し込みをいただく際、オペレーターが「ご紹介者はいらっしゃいますか」とおうかがいします。
⇒おそれいりますが「後から申し込みます」とお答えください。

入会完了

あなたと、あなたのお友だち・ごきょうだいに「教材」をお送りしますので、
プレゼント申し込み手続きを行う代表者を決め、0120-332211(9:00~21:00年末年始除く 通話料無料)までお電話ください。 ※一部のIP電話からは042-679-8567(ただし通話料がかかります)
その際、「お友だち・ごきょうだいの紹介であること」と「ご紹介者の会員番号」を忘れずにお伝えください。どちらかお一人がお手続きをすれば、お二人分のプレゼントをお届けします。

  • どちらかお一人がお手続きするだけでOKです。

「入会申し込みページ」の「支払い方法等の選択」内にある
「ご紹介者」の欄に、紹介してくれる方の情報をご入力ください。

紹介制度フォームサンプル

【お申し込み前に必ずお読みください】

●1月号(12/27まで)にご入会した方がキャンペーン対象です。
●受講費は1ヵ月分かかります。2月号以降を継続されない場合は、支払い期間にかかわらず「毎月払い」1ヵ月分の受講費のお支払いとなります。
●1ヵ月で退会する場合は1/10までに電話連絡が必要になります。ご連絡はお電話に限ります。
●退会連絡をいただかない場合、引き続き2月号以降をお届けします。

2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
今後お届けするご案内・教材については、最新の入試情報を踏まえてお届けできるように努めてまいりますので、ご理解のほど何卒よろしくお願い申し上げます。
なお、ベネッセコーポレーションでは、新大学入試の最新情報をわかりやすく解説する「教育セミナー」(参加費無料)を全国で開催しております。これから新入試に向けて頑張る高校生のみなさま・保護者の方に、ぜひ、ご活用いただけますと幸いです。
詳しくはこちらをご覧ください。