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【平面ベクトル】内積の求め方

内積の求め方

「直角三角形において，内積AB→・BC→ を求めよ。」という問題で，
定義にあてはめて，AB→・BC→＝|AB→||BC→|cosB＝２・√3cos30°＝3 としたのに，正しい答えが出ません。 どこが間違っていますか？

進研ゼミからの回答！

こんにちは。
いただいた質問について，さっそく回答いたします。

【質問の確認】

【問題】

問題 問題

上の問題で，定義にあてはめて，(AB)(BC)としたのに，正解は，−3でした。どこが間違っていますか？
というご質問ですね。

【解説】

まずは，定義を振り返っておきましょう。

【内積の定義】

→0 でない２つのベクトル→a ，→b のなす角がθのとき，

→a ⃗⋅→b = |→a||→b|cosθ

上の解答では，確かに，辺の長さをあてはめていますが，残念ながら，内積の定義を使うときの重要なルールに従っていません。
2つのベクトルのなす角を求めるときに重要なことは，「ベクトルの始点を合わせる」ということです。

ベクトルの始点とは，→AB ならば点A，→BC ならば点Bのことです。
つまり，ベクトルの始まりにある（左側にある）文字で表される点のことです。

上の解答では，→AB と →BC の大きさとなす角を30°として計算していましたが，→BA と →BC のなす角は30°ですが，→AB と →BC のなす角は30°ではないのです。

そこで，→AB を平行移動して，→AB の始点を →BC の始点のBにそろえます。
すると，→AB と →BC のなす角は，下の図で→AB ＝ →BD ですから，→BD と →BC のなす角となり，180°−30°＝150°とわかります。

よって，

(AB)・(BC) =|(AB)||(BC)| cos⁡∠DBC=2×√3×cos150°=2×√3×(-√3/2)＝−3

また，始点の合わせ方により，次のような別解も考えられます。

【別解1】→BC を平行移動して，始点をAにそろえる方法

→BC を平行移動して，図のように，始点をAにそろえると，

(AB)・(BC)=|(AB)||(BC)| cos⁡∠BAD'=2×√3×cos⁡（60°+90°）=-3

【別解2】 →AB = -→BA と書きかえる方法

→AB の向きを逆にして，→AB =-→BA を利用すると，

(AB)・(BC)=-(BA)・(BC)=-|(BA)||(BC)| cos⁡B=-2×√3 cos30°=-3

となります。
内積の定義を使うときは，「始点を合わせる」ということに注意しましょう。

【アドバイス】

定義や定理は正しく理解し，正しく使うことが大切です。今後もいろいろな定義や定理を学習すると思うので，その定義や定理を利用する問題を解きながら，正しく理解するように心がけましょう。
また，今回のようにどこで間違えているかわからないときは，それをそのままにせず，どこが違うのかを必ず明らかにすることが大切ですね。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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「進研ゼミ　ハイブリッドスタイル」はお手持ちのiPadでご利用いただけます。

対応機種
iPad（第4世代）、iPad Air、iPad Air 2、iPad mini 2、iPad mini 3、iPad mini 4
  • OS : iOS8.3以上。
  • 容量 : 8GB程度を想定。
  • 2016年2月時点。
  • 以下の端末ではお使いいただけません。
    パソコン、スマートフォン、iPad以外のタブレット、進研ゼミでお届けしている専用タブレット
    （チャレンジパッド、チャレンジタブレット、チャレンジタブレットネクスト）
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  • 上記に合致しない環境では、サービスをご利用いただけない場合があります。
  • インターネットサービスプロバイダとの契約、無線LANルータが必要となります。接続料金等はお客さまのご負担となります。
  • セルラーモデルのiPadをご利用の方も、無線LAN(Wi-Fi)環境が必要です。ただし、テザリング機能での通信は推奨いたしません。
  • Apple、Apple ロゴ、iPadは米国および他の国々で登録された Apple Inc. の商標です。
  • iPadの機種、価格、内容等は変わることがあります。
  • ＜ハイブリッドスタイル＞で使用するiPadは、「進研ゼミ」以外のアプリにも接続できるタブレットです。インターネット接続・アプリ利用等の制限については、保護者の管理・判断のもとご利用ください。

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その際、「お友だち・ごきょうだいの紹介であること」と「ご紹介者の会員番号」を忘れずにお伝えください。どちらかお一人がお手続きをすれば、お二人分のプレゼントをお届けします。

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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
今後お届けするご案内・教材については、最新の入試情報を踏まえてお届けできるように努めてまいりますので、ご理解のほど何卒よろしくお願い申し上げます。
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