【平面ベクトル】内積の求め方

内積の求め方

「直角三角形において,内積AB→・BC→ を求めよ。」という問題で,
定義にあてはめて,AB→・BC→=|AB→||BC→|cosB=2・√3cos30°=3 としたのに,正しい答えが出ません。 どこが間違っていますか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

【問題】

問題 問題

上の問題で,定義にあてはめて,(AB)(BC)としたのに,正解は,−3でした。どこが間違っていますか?
というご質問ですね。

【解説】

まずは,定義を振り返っておきましょう。

【内積の定義】

→0 でない2つのベクトル→a→b のなす角がθのとき,

→a ⃗⋅→b = |→a||→b|cosθ

上の解答では,確かに,辺の長さをあてはめていますが,残念ながら,内積の定義を使うときの重要なルールに従っていません。
2つのベクトルのなす角を求めるときに重要なことは,「ベクトルの始点を合わせる」ということです。

ベクトルの始点とは,→AB ならば点A,→BC ならば点Bのことです。
つまり,ベクトルの始まりにある(左側にある)文字で表される点のことです。

上の解答では,→AB→BC の大きさとなす角を30°として計算していましたが,→BA→BC のなす角は30°ですが,→AB→BC のなす角は30°ではないのです。

そこで,→AB を平行移動して,→AB の始点を →BC の始点のBにそろえます。
すると,→AB→BC のなす角は,下の図で→AB→BD ですから,→BD→BC のなす角となり,180°−30°=150°とわかります。

よって,

(AB)・(BC) =|(AB)||(BC)| cos⁡∠DBC=2×√3×cos150°=2×√3×(-√3/2)=−3


また,始点の合わせ方により,次のような別解も考えられます。

【別解1】→BC を平行移動して,始点をAにそろえる方法

→BC を平行移動して,図のように,始点をAにそろえると,

(AB)・(BC)=|(AB)||(BC)| cos⁡∠BAD'=2×√3×cos⁡(60°+90°)=-3

【別解2】 →AB = -→BA と書きかえる方法

→AB の向きを逆にして,→AB =-→BA を利用すると,

(AB)・(BC)=-(BA)・(BC)=-|(BA)||(BC)| cos⁡B=-2×√3 cos30°=-3

となります。
内積の定義を使うときは,「始点を合わせる」ということに注意しましょう。

【アドバイス】

定義や定理は正しく理解し,正しく使うことが大切です。今後もいろいろな定義や定理を学習すると思うので,その定義や定理を利用する問題を解きながら,正しく理解するように心がけましょう。
また,今回のようにどこで間違えているかわからないときは,それをそのままにせず,どこが違うのかを必ず明らかにすることが大切ですね。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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