【平面上の曲線・複素数平面】媒介変数表示について

【質問の確認】

座標平面上における直線や曲線は，xとyの関係式で表すのに，「媒介変数表示」ではxとyのほかに，別の文字が入っていて，どう扱えばよいのかわかりません。
というご質問ですね。

【解説】

≪「媒介変数表示」の意味≫
「媒介変数表示」というと，なんだか難しそうな言葉ですが，「媒介」とは，双方の間に立ってとりもつことですから，要は x と y は変数t を媒介にしてつながっている，ということです。

　　

例えば，時間とともに動く点P（x，y） の座標が時刻 tによって，
　　x ＝ t ＋ 1， y ＝ t² − 2
と表されているとします。このとき，時刻tの値が１つ決まれば，点Pの座標が１つ決まります。この t が媒介変数であり，x と y は媒介変数表示されている，というわけです。

もちろん，この例のように時刻でなくても，２つの変数(x と y)をとりもっていれば媒介変数ですから，媒介変数は t とは限らず，θや u などいろいろな変数の場合があります。

≪媒介変数表示された関数の扱い方≫
具体例で説明しましょう。
普通，座標平面上における直線や曲線は，x と y の関係式で表しましたね。そこで，x と y の関係が知りたいならば，t には消えてもらえばよいのです。

xもyもtの式で表されています。つまり，xとyの間をとりもつ媒介変数tを用いた表し方ということですね。
これがどのような図形を表すかを調べるためには，tを消去して，xとyの関係式を求めればいいのです。
①より，t＝x−1　
これを②に代入して，y＝（x−1）²−2
この式は，おなじみの２次関数の式ですね。
よって，この図形は点( 1，−2)を頂点とする放物線になることがわかります。

【例１】と同様に，xもyもθの式で表されていますので，θを消去して，xとyの関係式を求めましょう。ただし，θ＝〜の形にできないので，三角関数の相互関係sin²θ＋cos²θ＝1を利用します。
まず，③より， sinθ＝x−2
そして，④より， cosθ＝y＋1
これらを，sin²θ＋cos²θ＝1に代入して，
　　　（x−2）²＋（y＋1）²＝1
よって，この図形は中心( 2，−1 ) ，半径1の円になることがわかります。

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◎まとめ
媒介変数表示とは，直線や曲線の表し方の１つですから，xとyの関係や，どのような図形かを調べるためには， 媒介変数を消去して，xとyの関係式にすればよいのです。
ただし，もし媒介変数の値の範囲が限られている場合は，x，yの値の範囲にも気をつけなければなりません。
例えば，【例１】で t≧0という条件があったなら，
t＝x−1≧0より，x≧1
となり，この図形は点( 1，−2 ) を頂点とする放物線のx≧1の部分ということになるわけです。

【アドバイス】

媒介変数表示で，xとyの関係を求めたいときは，“媒介変数を消去する”ことを覚えておいてください。消去の仕方は【例１】のように簡単なものや【例2】のようにコツが必要なものなどいろいろなので，いろいろな問題を解いて，媒介変数を消去するコツも身につけておきましょう。

それでは，これで回答を終わります。
これからも，『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。