例年の傾向と2020年度入試出題

問題の解釈・解法の構築・解答の発信の力が、高度に求められる

東京大入試問題
[理系数学]大問別出題分野

大問6題からなる問題セットで、すべて記述式である。整数の性質や空間図形、微分法・積分法(数Ⅲ)が頻出であり、対策が欠かせない。問題を正しく解釈し、解法を構築し、論理的に正しい答案として発信する、そのすべての力を高いレベルで求められる。2020年度も大問構成や出題傾向に大きな変化はなかった。

東京大入試問題
[理系数学]大問別出題分野

大問6題からなる問題セットで、すべて記述式である。整数の性質や空間図形、微分法・積分法(数Ⅲ)が頻出であり、対策が欠かせない。問題を正しく解釈し、解法を構築し、論理的に正しい答案として発信する、そのすべての力を高いレベルで求められる。2020年度も大問構成や出題傾向に大きな変化はなかった。

2019年度入試詳解

  • 制限時間150分
  • 大問1
  • 分野
  • 積分法(数Ⅲ)
  • 出題内容・形式
  • 無理関数を分母に含む関数の積の定積分を求める問題。問題文は2行だが、置換積分をして多くの式変形をしていかなければならない。〈やや易〉
  • 大問2
  • 分野
  • 微分法(数Ⅱ)
  • 出題内容・形式
  • 一辺の長さが1の正方形の3辺上に、面積に関する条件を満たすように点をとるとき、2つの線分の比の最大値、最小値を求める問題。自ら3変数を設定し、その間の関係と、とりうる値の範囲を求めておき、2つの線分の比を1変数で表すという手順をふんで記述していく。〈やや易〉
  • 大問3
  • 分野
  • 空間ベクトル
  • 出題内容・形式
  • 座標空間における八面体の平面による切り口に関して、図示、八角形となる条件、面積を求める問題。1つの頂点の座標が文字定数を含むために、うまく場合分けをしなくてはならず、空間を把握する能力が要求される。〈標準〉
  • 大問4
  • 分野
  • 整数の性質
  • 出題内容・形式
  • 整数nで表された2つの整数の最大公約数を求め、積が整数の2乗にならないことを示す問題。整数nを具体的な値にしていくつか実験的に考察して答えを予想し、その後は論理的に記述していくとよい。(2)は(1)がヒントになっている。〈やや難〉
  • 大問5
  • 分野
  • 三角関数
    微分法(数Ⅲ)
    極限
  • 出題内容・形式
  • 文字nと三角関数を含む方程式がただ一つの実数解をもつことを示し、その実数解を文字nに関する数列とみなした極限を求める問題。数列が具体的に明示できず、関係式をもとに変形していく数式処理の能力が必要となる。〈標準〉
  • 大問6
  • 分野
  • 複素数と方程式
    複素数平面
  • 出題内容・形式
  • 係数に文字を含む実数係数の4次方程式の4つの複素数解に関する条件から、解が実数解か虚数解かを判断し、2つの解の和がとりうる範囲を複素数平面上に図示する問題。実数係数の4次方程式の虚数解が、その共役複素数も解になることを利用し、適切な場合分けをして考察していく論理力が必要。〈やや難〉

2018年度入試詳解

  • 制限時間150分
  • 大問1
  • 分野
  • 微分法(数Ⅲ)
    極限
    三角関数
  • 出題内容・形式
  • 三角関数を含む関数の増減表をつくり、さらに極限を調べる問題。符号を調べやすい形への導関数の変形がカギ。〈やや易〉
  • 大問2
    注目!
  • 分野
  • 数列
    整数の性質
  • 出題内容・形式
  • 2項係数と階乗を一般項に含む数列の項が、整数の値となる場合を考える問題。既約分数という条件から、分母と分子が互いに素であることを論証する。出題意図を読み解き、方針を立て、答案を記述する力が幅広く求められた。〈標準〉
  • 大問3
  • 分野
  • 平面ベクトル
    積分法(数Ⅱ)
    極限
  • 出題内容・形式
  • 放物線上および線分上を独立に動く2点の位置ベクトルにより定められる点の動く領域の面積と極限を求める問題。〈標準〉
  • 大問4
    注目!
  • 分野
  • 微分法
    (数Ⅱ)
  • 出題内容・形式
  • 3次方程式の相異なる3実数解を考察する問題。解の条件をグラフの共有点の位置関係に読み換えるのは典型的な解法である。領域の図示で、曲線が接することに要注意。〈やや易〉落とせない。
  • 大問5
  • 分野
  • 複素数平面
    式と曲線
  • 出題内容・形式
  • 複素数平面上の軌跡を求める。単位円の接線を対称軸として扱う。出題意図の解釈、解法選択など、総合力が問われた。〈難〉
  • 大問6
  • 分野
  • 積分法
    (数Ⅲ)
  • 出題内容・形式
  • 座標空間内の折れ線分上を中心が動く球体の通過する部分の体積を求める問題。空間図形の把握力が問われた。〈やや難〉

2017年度入試詳解

  • 制限時間150分
  • 大問1
  • 分野
  • 三角関数
    2次関数
  • 出題内容・形式
  • 三角関数を含む関数の最小値を求める問題。誘導に従い、2次関数に帰着させる。変域が開区間であることに注意。〈やや易〉
  • 大問2
  • 分野
  • 場合の数と確率
  • 出題内容・形式
  • 座標平面上を上下左右に等確率で動く点Pに関する問題。正確に数え上げる力が求められる。図表をかいて視覚化したり、移動の条件を式で表すなどの工夫が重要である。〈標準〉
  • 大問3
  • 分野
  • 複素数平面
  • 出題内容・形式
  • 垂直二等分線上を動く点に関する軌跡の問題。(2)は、(1)の利用と「線分」上を動くことをどう扱うかがポイント。〈標準〉
  • 大問4
  • 分野
  • 数列
    整数の性質
  • 出題内容・形式
  • 一般項が与えられた数列と最大公約数に関する問題。数学的帰納法の運用力や互除法の原理の理解が問われた。〈標準〉(1)、(2)は落とせない。
  • 大問5
  • 分野
  • 式と曲線
  • 出題内容・形式
  • 直線y=xに関して対称な2つの放物線の共通接線を求める問題。問題文の正確な読みとりと見通しよい計算が必要。〈標準〉
  • 大問6
    注目!
  • 分野
  • 積分法(数Ⅲ)
  • 出題内容・形式
  • 座標空間で正三角形の1辺が通過しうる範囲の体積を求める問題。2つの頂点が固定された(1)の考察を通して、1辺が直円錐の側面をなすことをつかむ。立体の把握、座標の利用、定積分の応用といった総合力が求められた。〈標準〉

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