【関数と極限】∞+∞=∞とは

∞+∞=∞とは

∞+∞=∞が∞になるとか,1+1=1みたいで変ですよね。 ∞ってすごく大きな数を表す記号ではないのですか?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について,さっそく回答いたします。

【質問の確認】

∞+∞=∞となる意味がわからない。∞は,すごく大きな数を表す記号ではないのですか?
というご質問ですね。

【解説】

≪極限の表し方≫
極限を求める式は,例えば,

と書きますが,この「=」は,x+3にx=1を代入して,
   x+3=1+3=4
と表す場合の「=」とはちょっと違います。xは1という値そのものになるのではなく,あくまでも,xを1に限りなく近づけたら,x+3は4に限りなく近づく,つまり,
   x→1 のとき x+3→4
である状況を,①のように表すのです。
このように,極限を求めるときは状況を考えてみるとよいでしょう。

とは≫
∞は,限りなく大きいことを表す記号であって,限りなく大きな数ではありません
ですから,∞+∞=2∞のように書くこともありません。この場合,「限りなく大きいことと,限りなく大きいことを合わせる」ため,結局,限りなく大きいことには変わらないため,∞+∞は∞となります。状況を考えれば明らかですね。
基本的に∞の記号は  やx→∞,極限は∞(正の無限大に発散すること)のように,極限の記号や極限について用いられることが多いです。

の状況は…
それでは∞−∞はどうなるのでしょうか?
先にも説明したように,∞は,数値ではないので,1−1=0と同じように計算することはできません。それでは,状況を考えて「限りなく大きいことから,限りなく大きいことを引く」と読みかえてみても,これがどんな状況になるのかは,これだけではわかりません。また,∞×0,も,どのようになるかは状況によって異なります。そこで,それらの極限を調べるには,個々の問題ごとに工夫が必要なのです。

≪極限を求める工夫≫
それでは,工夫が必要な場合を具体的に考えてみましょう。

このように,「∞−∞」の形になる場合の極限は,状況によって違うのです。

【アドバイス】

x→∞は「xが限りなく大きくなること」で,それぞれの大きくなる「状況」を考えることが大切です。いろいろな問題で「状況」を考える練習をしておきましょう。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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