【指数・対数関数】1/√aを(1/a)^r の形になおす方法

1/√aを(1/a)^r の形になおす方法

解答では,底を1/2にそろえていましたが,1/√2 を1/2にどのようにしてそろえるのかわかりません。お願いします。

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問にお答えしましょう。

【質問の確認】

【問題】

不等式0.53x−1>1/√2 を解け。

の解答で,両辺を底 1/2 にそろえて,

(1/2)^3x−1>√(1/2)  (1/2)^3x−1>(1/2)^(1/2) (1/2)^3x−1>√(1/2)  (1/2)^3x−1>(1/2)^(1/2)

と変形しているが,右辺の1/√2 がなぜ (1/2)^(1/2) となるのかわからない。
というご質問ですね。

【解説】

まず,1/√2 =√(1/2) と表すことができるのは大丈夫でしょうか?

1/√2 = √1/√2=√(1/2) 1/√2 = √1/√2=√(1/2)

そこで,√(1/2) を累乗の形にすればよいですね。

ここで,次の定義を使います。

a > 0 で,mn が正の整数,r が正の有理数のとき,

a^(m/n)=^n√(a^m) ・・・☆,a−r=1/a^r a^(m/n)=^n√(a^m) ・・・☆,a−r=1/a^r

と定義することで,指数法則において指数を有理数の範囲にまで拡張することができます。
これより,累乗根の計算は指数に直して指数法則を利用するとよいでしょう。

ここでは,1/2 をかたまりとみなして,^n√(a^m)=a^(m/n) (左辺と右辺を入れかえる)として使います。
そこで,●=1/2 とおくと,

√● =^2√(●^1)=●^(1/2) ^2√a は √a と書くことに注意! √● =^2√(●^1)=●^(1/2) ^2√a は √a と書くことに注意!

つまり,

√(1/2)=^2√((1/2)^1)=(1/2)^(1/2) √(1/2)=^2√((1/2)^1)=(1/2)^(1/2)

となります。
そこで,

1/√2 = (1/2)^(1/2) 1/√2 = (1/2)^(1/2)

と表すことができるのです。
これで,問題の不等式は底を 1/2 にそろえることができます。

【アドバイス】

定義を利用して累乗根を指数に直す方法はしっかりと覚えておきましょう。 また,下の指数法則も合わせて復習しておいてくださいね。

それでは,これで回答を終わります。
これからも,『進研ゼミ高校講座』にしっかりと取り組んでいってくださいね。

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