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【式と証明】相加平均と相乗平均の等号成立条件

相加平均と相乗平均の等号成立条件

どうして等号成立条件がa-b=0なんでしょうか?
問題ではa+bしか出てこないですよね?

進研ゼミからの回答!

こんにちは。
いただいた質問について、早速、回答します。

【質問の確認】

【問題】
a+b≧2√ab (a>0、b>0)を証明してみよう。

で 問題ではa+b しか出てこないのに、

【解答解説】の証明
a>0、b>0のとき、a+b≧2√ab
を証明するには、根号を含む不等式だから、2乗して差をとり、

(a+b)^2-(2√ab)^2=(a^2+2ab+b^2 )-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2≧0 (a+b)^2-(2√ab)^2=(a^2+2ab+b^2 )-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2≧0

よって、(a+b)2≧(2√ab)2

a>0、b>0のとき、a+b>0、2√ab >0だから、

a+b≧2√ab

等号が成り立つのは、a-b=0、すなわち、a=bのとき。・・・(*)

の(*)で等号成立条件が「a-b=0」となることについてですね。

【解説】

相加平均・相乗平均の大小関係を証明するところでの、等号成立条件について・・・
どうして、a-b=0なのか?という質問ですね。

不等式の証明の基本は、「差をとって、符号を調べる」

ことは、よく理解できていますね。

これを踏まえて、相加平均・相乗平均の大小関係を証明するとき、根号を含むことから、2乗して差をとり、

(a+b)^2-(2√ab)^2=a^2+2ab+b^2-4ab=(a-b)^2≧0と導きましたね。 (a+b)^2-(2√ab)^2=a^2+2ab+b^2-4ab=(a-b)^2≧0と導きましたね。

(左辺)−(右辺)≧0を導いた時の式が、ポイントです。
この式で、等号成立条件を考えます。

等号が成り立つのは・・・? ( )の中身が0のときですね。
つまり、a-b=0のときとなります。

不等式を証明する時には、等号がつくのか、つかないのか、意識することは大切です。
この点に注意しているのが良いですね。

【アドバイス】

今後不等式を証明する時に、『相加平均・相乗平均の大小関係』を用いると、楽に証明できる場合が出てくるでしょう。そのときにも、「等号が成立する時があるのか、ないのか」常に意識して、利用していきましょう。

今後も、分からないところは早めに解決しながら、数学に取り組んでいってくださいね。

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2019年12月17日に2021年度「大学入学共通テスト」にて予定されていた国語・数学の記述式問題の導入見送りの発表が文部科学省よりございました。現在「進研ゼミ高校講座」よりお届けしているご案内について、12月17日以前の入試情報でお届けしているものがございます。
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